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\pagestyle{myheadings}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
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\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
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\newtheorem{corolario}{Corol\'{a}rio}
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\begin{document}

\title{ \vspace{-1in} \hfil\break \indent\textsc{C\'{o}digos para o Canal T
- Usu\'{a}rios via A\c{c}\~{a}o de Grupos}\thanks{
\indent {\em Palavras-chave:} Canal; C\'{o}digo; A\c{c}\~{a}o de Grupos. }\\
\indent Coding for T - User Multiple Access Channel for Action Groups}
\date{}
\author{\textsc{Jo\~{a}o Bosco B. Lacerda} \and Universidade Federal da Para%
\'{\i}ba-UFPb \and Centro de Ci\^{e}ncias Exatas e da Natureza \and %
Departamento de Matem\'{a}tica, Jo\~{a}o Pessoa, PB \and e-mail:
boscolacerda@mat.ufpb.br}
\maketitle

\begin{abstract}
Neste artigo \'{e} apresentado uma generaliza\c{c}\~{a}o, via a\c{c}\~{a}o
de grupos, dos C\'{o}digos Corretores de Erros para o Canal Aditivo Bin\'{a}%
rio T - Usu\'{a}rios, obtidos em [5]. Tamb\'{e}m \'{e} determinado um limite
superior para o n\'{u}mero de c\'{o}digos equivalentes ao c\'{o}digo
determinado por uma matriz diferen\c{c}a $A$ bem como para o estabilizador $%
G_{A}$, onde $G$ \'{e} um grupo finito.
\end{abstract}

\section{Introdu\c{c}\~{a}o}

C\'{o}digos para o Canal Aditivo Bin\'{a}rio de M\'{u}ltiplo Acesso com dois
usu\'{a}rios (2-BAC) na aus\^{e}ncia de ru\'{\i}dos foram estudados por
Tadao Kasami e Shu Lin \cite{Kasami} e \cite{Tadao}. Em \cite{Chang} Chang e
Weldon apresentam uma classe de c\'{o}digos denominados de C\'{o}digos
Univocamente Decodific\'{a}veis para o Canal de M\'{u}ltiplo Acesso T-Usu%
\'{a}rios. Em \cite{Fergunson} Fergunson generaliza os c\'{o}digos de Chang
e Weldon via a\c{c}\~{a}o de grupos e obtem classes de c\'{o}digos
equivalentes univocamenrte decodific\'{a}veis. Wilson \cite{Wilson}
generaliza os c\'{o}digos de Chang e Weldon atrav\'{e}s do produto de
Kronecker e obtem uma classe de c\'{o}digos corretores de erro para o Canal
Aditivo Bin\'{a}rio T-Usu\'{a}rios. Mais recentemente Valdemar \cite%
{Valdemar} apresentou uma classe de c\'{o}digos para o canal 2-BAC
denominados de C\'{o}digos Fortemente Ortogonais Balanceados e verificou que
estes c\'{o}digos possuem a mais alta taxa de transmiss\~{a}o ating\'{\i}vel
com a constru\c{c}\~{a}o linear.

O principal objetivo deste trabalho \'{e} generalizar os c\'{o}digos obtidos
em \cite{Lacerda} via a no\c{c}\~{a}o de a\c{c}\~{a}o de grupos. O sistema
de comunica\c{c}\~{a}o considerado \'{e} o Canal de M\'{u}ltiplo Acesso T-Usu%
\'{a}rios onde T \ fontes estatisticamente independentes transmitem dados
para T destinat\'{a}rios sobre um canal comum sem mem\'{o}ria, veja figura %
\ref{fig1}. A cada um dos T usu\'{a}rios \'{e} dado um c\'{o}digo
constituinte $C_{i}$ consistindo de dois vetores bin\'{a}rios $X_{i}$ e $%
Y_{i}$ conforme \cite{Chang} de comprimento $N$. Um vetor $Z_{i}$ \'{e}
escolhido e transmitido por cada usu\'{a}rio. Se o canal \'{e} sem ru\'{\i}%
do o vetor recebido \'{e} o vetor $Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{T}$, onde o
sinal $+$ indica a adi\c{c}\~{a}o de vetores.\FRAME{fhFU}{4.7919in}{1.2981in%
}{0pt}{\Qcb{Sistema de Comunica\c{c}\~{a}o M\'{u}ltiplo Acesso}}{\Qlb{fig1}}{%
bl_v2.jpg}{\special{language "Scientific Word";type
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\section{Resultados B\'{a}sicos}

Nesta se\c{c}\~{a}o apresento alguns resultados b\'{a}sicos sobre \emph{%
Grupos} e \emph{A\c{c}\~{a}o de Grupos} que ser\~{a}o necess\'{a}rios para o
desenvolvimento deste trabalho. O leitor interessado em mais detalhes pode
consultar \cite{Garcia}.

\begin{definicao}
Seja $G$ um grupo e $X$ um conjunto n\~{a}o vazio qualquer, \emph{uma a\c{c}%
\~{a}o \`{a} esquerda} do grupo $G$ em $X$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o $\ast
:G\times X\rightarrow X$, com $\ast \left( a,x\right) =a\ast x$,
satisfazendo as seguintes condi\c{c}\~{o}es:
\end{definicao}

\begin{enumerate}
\item $a\ast \left( b\ast x\right) =\left( ab\right) \ast x$, para todos $%
a,b\in G$ e $x\in X$;

\item $e_{G}\ast x=x$, para todo $x\in X$, onde $e_{G}$ denota o elemento
identidade de $G$.
\end{enumerate}

Se $G$ \'{e} um grupo finido com $\left\vert G\right\vert =n$ dizemos que $n$
\'{e} o \emph{grau da a\c{c}\~{a}o} de $G$ em $X$ ou que $X$ \'{e} um \emph{%
G-conjunto de grau} $n$. Analogamente define-se uma a\c{c}\~{a}o \`{a}
direita de $G$ em $X$.

Sejam $X$ e $Y$ dois G-conjuntos n\~{a}o vazios. Uma fun\c{c}\~{a}o $\varphi
:X\rightarrow Y$ \'{e} um \emph{G-}$\hom $\emph{omorfismo} se%
\begin{equation*}
\varphi \left( gx\right) =g\varphi \left( x\right) ,\forall \hspace{0.25cm}%
g\in G\hspace{0.2cm}\mbox{ e }\hspace{0.2cm}x\in X.
\end{equation*}

Um G-$\hom $omorfismo $\varphi :X\rightarrow Y$ \'{e} um \emph{G-isomorfismo}
se $\varphi $ \'{e} bijetora. Neste caso dizemos que $X$ e $Y$ s\~{a}o \emph{%
G-isomorfos} e escrevemos $X\simeq Y$.

\begin{proposicao}
Seja $X$ um G-conjunto n\~{a}o vazio transitivo. Ent\~{a}o%
\begin{equation*}
X\simeq \frac{G}{G_{x}},\forall \hspace{0.2cm}\mbox{ }\hspace{0.2cm}x\in X
\end{equation*}%
em que $G_{x}=\left\{ a\in G:ax=x\right\} $ \'{e} o estabilizador de $x$.
\end{proposicao}

\begin{corolario}
Seja $X$ um G-grupo n\~{a}o vazio. Ent\~{a}o%
\begin{equation*}
\mathcal{O}\left( x\right) \simeq \frac{G}{G_{x}},\forall \hspace{0.2cm}%
\mbox{ }\hspace{0.2cm}x\in X
\end{equation*}%
em que $\mathcal{O}\left( x\right) $ \'{e} a \'{o}rbita do elemento $x$.
\end{corolario}

Basta observar que $G$ age transitivamente sobre \emph{O}$\left( x\right) $.

\begin{corolario}
\label{coro2}Seja $X$ um G-grupo n\~{a}o vazio. Ent\~{a}o%
\begin{equation*}
\left\vert \mathcal{O}\left( x\right) \right\vert =\left[ G:G_{x}\right] 
\text{.}
\end{equation*}
\end{corolario}

\section{C\'{o}digos para o Canal T- Usu\'{a}rio}

Um c\'{o}digo para o canal T-usu\'{a}rios \'{e} uma T-upla $\left(
C_{1},\ldots ,C_{T}\right) $ onde cada $C_{i}$, denominado de \emph{c\'{o}%
digo constituinte}, \'{e} formado por duas palavras c\'{o}digos%
\begin{equation*}
C_{i}=\left\{ X_{i},Y_{i}\right\}
\end{equation*}%
e $X_{i}$, $Y_{i}$ s\~{a}o vetores c\'{o}digos bin\'{a}rias de comprimento $%
N $.

Sejam $\left( C_{1},\ldots ,C_{T}\right) $ um c\'{o}digo T-usu\'{a}rios e%
\begin{equation*}
\mathbf{Z}=\left( z_{1},\ldots ,z_{N}\right) =\dsum\limits_{i=1}^{T}\mathbf{Z%
}_{i}
\end{equation*}%
onde $z_{i}\in \{0,1,\ldots ,T\}$ e $\mathbf{Z}_{i}$ \'{e} um vetor c\'{o}%
digo do i-\'{e}simo c\'{o}digo constituinte $C_{i}$.

A L-dist\^{a}ncia entre os vetores $\mathbf{Z}$ e $\mathbf{Z}^{\prime }$, $%
\mathbf{Z}\neq \mathbf{Z}^{\prime }$ \'{e} definida como sendo%
\begin{equation*}
d_{L}\left( \mathbf{Z},\mathbf{Z}^{\prime }\right)
=\dsum\limits_{i=1}^{N}\left\vert z_{i}-z_{i}^{\prime }\right\vert
=\left\vert \left\vert \mathbf{Z}-\mathbf{Z}^{\prime }\right\vert
\right\vert .
\end{equation*}

A L-dist\^{a}ncia\emph{\ m\'{\i}nima} $d_{\min }$ do c\'{o}digo T-usu\'{a}%
rios \'{e} o menor valor de $d_{L}\left( \mathbf{Z},\mathbf{Z}^{\prime
}\right) $ para todos $\mathbf{Z}\neq \mathbf{Z}^{\prime }$.

Um c\'{o}digo T-usu\'{a}rios \'{e} $\delta $\emph{-decodific\'{a}vel} se, e
somente se, $d_{L}\left( \mathbf{Z},\mathbf{Z}^{\prime }\right) \geq \delta $
para todos $\mathbf{Z\neq Z}^{\prime }$.

Uma \emph{matriz diferen\c{c}a} \'{e} uma matriz com entradas no corpo $%
\mathbb{F}_{3}$. Desta forma, se $\left( C_{1},\ldots ,C_{T}\right) $ \'{e}
um c\'{o}digo bin\'{a}rio T-usu\'{a}rios de comprimento $N$ ent\~{a}o o vetor%
\begin{equation*}
d_{i}=X_{i}-Y_{i}
\end{equation*}%
\'{e} claramente um vetor diferen\c{c}a. Desta forma temos que a matriz%
\begin{equation*}
D=\left[ d_{1},\ldots ,d_{T}\right] ^{t}
\end{equation*}%
onde o s\'{\i}mbolo $t$ denota a matriz transposta \'{e} a matriz diferen%
\c{c}a $T\times N$ do c\'{o}digo T-usu\'{a}rios $\left( C_{1},\ldots
,C_{T}\right) $.

De \cite{Chang} temos que um c\'{o}digo T-usu\'{a}rios \'{e} un\'{\i}%
vocamente decodific\'{a}vel se, e somente se, os vetores linhas da matriz
diferen\c{c}a associada ao c\'{o}digo T-usu\'{a}rios forem linearmente
independentes sobre $\mathbb{F}_{3}$.

Rec\'{\i}procamente, dada uma matriz diferen\c{c}a $D_{T\times N}$ tal que
os vetores linhas sejam linearmente independentes sobre $\mathbb{F}_{3}$ ent%
\~{a}o \'{e} poss\'{\i}vel construir um c\'{o}digo T-usu\'{a}rios un\'{\i}%
vocamente decodific\'{a}vel $\left( C_{1},\ldots ,C_{T}\right) $.

Dada a matriz diferen\c{c}a%
\begin{equation*}
D_{1}=\left[ 
\begin{array}{rr}
1 & 1 \\ 
1 & -1%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
o c\'{o}digo 2-usu\'{a}rios un\'{\i}vocamente decodific\'{a}vel associado a
matriz $D_{1}$ \'{e} de acordo com \cite{Chang} formado pelos seguintes c%
\'{o}digos constituintes:%
\begin{eqnarray*}
C_{1} &=&\{\left( 1,1\right) ,\left( 0,0\right) \} \\
C_{2} &=&\{(1,0),(0,1)\}
\end{eqnarray*}%
A seguinte proposi\c{c}\~{a}o pode ser conferida em \cite{Chang}.

\begin{proposicao}
Para todo inteiro $k\geq 1$ a matriz diferen\c{c}a%
\begin{equation*}
D_{k}=\left[ 
\begin{array}{rr}
D_{k-1} & D_{k-1} \\ 
D_{k-1} & -D_{k-1} \\ 
I_{k-1} & 0_{k-1}%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
define um c\'{o}digo un\'{\i}vocamente decodific\'{a}vel $(k+2)2^{k-1}$-usu%
\'{a}rios\emph{\ }de comprimento $2^{k}$, onde $I_{k-1}$ e $0_{k-1}$ s\~{a}%
o, respectivamente, a matriz identidade e a matriz nula de ordem $2^{k-1}$.
\end{proposicao}

Agora, sejam $D_{0}^{(k)}=D_{k}$ e%
\begin{equation*}
H=\left[ 
\begin{array}{rr}
1 & 1 \\ 
1 & -1%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
ent\~{a}o o \emph{produto tensorial}, ver \cite{Lacerda3}, \'{e} uma matriz
diferen\c{c}a%
\begin{equation*}
D_{i}^{\left( k\right) }=D_{i-1}^{\left( k\right) }\otimes H
\end{equation*}%
que define um c\'{o}digo $\left( k+2\right) .2^{k-1+i}$-usu\'{a}rios de
comprimento $N=2^{k+i}$ e dist\^{a}ncia m\'{\i}nima $d_{\min }=2^{i}$.

\begin{exemplo}
Para $k=i=1$, o produto tensorial%
\begin{equation*}
D_{1}^{\left( 1\right) }=D_{0}^{1}\otimes H=\left[ 
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & 1 & -1 \\ 
1 & 0 & 1 & 0 \\ 
1 & 1 & -1 & -1 \\ 
1 & -1 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & -1 & 0%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
define um c\'{o}digo 6-usu\'{a}rios de comprimento $N=4$ e $d_{\min }=2$.
\end{exemplo}

\section{C\'{o}digos via A\c{c}\~{a}o de Grupos}

Uma \emph{matriz de permuta\c{c}\~{a}o generalizada} de ordem $n$ \'{e} uma
matriz $P_{n\times n}$ em que cada linha e cada coluna possui um \'{u}nico
elemento n\~{a}o nulo que pode ser $1$ e $-1$. O conjunto das matrizes de
permuta\c{c}\~{o}es generalizadas de ordem $n$ formam um grupo
multiplicativo finito de ordem $n!2^{n}$. O leitor interessado em mais
detalhes pode consultar \cite{Lacerda}.

Agora de \cite{Lacerda} temos que se $D_{0}$ \'{e} uma matriz diferen\c{c}a
de ordem $2\times N_{0}$ que define um c\'{o}digo 2-usu\'{a}rios $\ \delta $%
-decodific\'{a}vel de comprimento $N_{0}$ e se $H$ \'{e} a \emph{matriz de
Hadamard} de ordem $q$, ent\~{a}o o produto de Kronecker $H\otimes D_{0}$ 
\'{e} uma matriz diferen\c{c}a de ordem $2q\times qN_{0}$ e define um c\'{o}%
digo 2q-usu\'{a}rios de comprimento $qN_{0}$ e dist\^{a}ncia m\'{\i}nima, $%
d_{\min }=q\delta $.

\begin{exemplo}
\label{exe41}Sejam $D_{0}$ a matriz diferen\c{c}a de ordem $2\times 4$ dada
por%
\begin{equation*}
D_{0}=\left[ 
\begin{array}{rrrr}
-1 & -1 & -1 & -1 \\ 
-1 & -1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
e $H_{2}$ a matriz de Hadamard de ordem $2$. Ent\~{a}o o produto de Kronecker%
\begin{equation*}
H_{2}\otimes D_{0}=\left[ 
\begin{array}{rrrrrrrr}
-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 
-1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 
-1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
-1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
\'{e} uma matriz diferen\c{c}a de ordem $4\times 8$ e define um c\'{o}digo
4-usu\'{a}rios de comprimento $8$ e dist\^{a}ncia m\'{\i}nima, $d_{\min }=8$.
\end{exemplo}

Agora, sejam $G_{1}$ e $G_{2}$ os grupos das matrizes de permuta\c{c}\~{o}es
generalizadas de ordem $2q$ e $qN_{0}$, respectivamente. Sejam $G$ o grupo
finito 
\begin{equation*}
G=G_{1}\times G_{2}=\left\{ \left( P,Q\right) :P\in G_{1}\hspace{0.2cm}%
\mbox{ e }\hspace{0.2cm}Q\in G_{2}\right\}
\end{equation*}

e $S$ o conjunto das matrizes diferen\c{c}as de ordem $2q\times N_{0}q$%
\begin{equation*}
S=\left\{ A=H_{q}\otimes D_{0}:q=2\hspace{0.2cm}\mbox{ ou }\hspace{0.2cm}%
q\equiv 0\func{mod}4\right\}
\end{equation*}%
em que $D_{0}$ \'{e} uma matriz diferen\c{c}a de ordem $2\times N_{0}$, com $%
N_{0}\geq 2$.

Vamos definir a a\c{c}\~{a}o do grupo $G$ em $S$ por%
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\ast : & G\times S & \rightarrow & S \\ 
& \left( P,Q,A\right) & \longmapsto & PAQ%
\end{array}%
.
\end{equation*}

Qualquer matriz $A_{m\times n}$ com entradas em um corpo $F$, pode ser
reduzida, atrav\'{e}s de um n\'{u}mero finito de opera\c{c}\~{o}es
elementares sobre as linhas e colunas de $A,$ a uma \'{u}nica matriz $%
m\times n$ da forma%
\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{rr}
I_{k} & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right]
\end{equation*}%
em que $I_{k}$ \'{e} a matriz identidade de ordem $k$ e $k=posto\left(
A\right) \leq \min \left\{ m,n\right\} $. Desde que opera\c{c}\~{o}es
elementares de linhas e colunas consiste em multiplicar a matriz $A$\ \`{a}
esquerda e \`{a} direita por convenientes matrizes invert\'{\i}veis, confira 
\cite{Brown}, ent\~{a}o existem matrizes $P\in G_{1}$ e $Q\in G_{2}$ tais que%
\begin{equation*}
PAQ=\left[ 
\begin{array}{rr}
I_{k} & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] .
\end{equation*}%
Ent\~{a}o, \'{e} f\'{a}cil ver que o n\'{u}mero de classes de equival\^{e}%
ncias \'{e} menor ou igual a $k=posto\left( A\right) =\min \left\{
m,n\right\} $.\ Assim, temos que%
\begin{equation*}
\left\vert \mathcal{O}\left( A\right) \right\vert =posto\left( A\right) \leq
\min \left\{ m,n\right\} \text{.}
\end{equation*}%
Isto \'{e}, o n\'{u}mero de matrizes equivalentes a $A$ \'{e} menor ou igual
ao $\min \left\{ m,n\right\} $. Por outro lado, pelo color\'{a}rio \ref%
{coro2}, temos que%
\begin{equation*}
\left\vert G_{A}\right\vert \leq k\left\vert G\right\vert
\end{equation*}%
em que $k=\frac{1}{\min \left\{ m,n\right\} }$.

O seguinte exemplo ilustra este resultado.

\begin{exemplo}
Considere a matriz 
\begin{equation*}
A=H_{2}\otimes D_{0}
\end{equation*}%
do exemplo \ref{exe41} e sejam $G_{1}$ e $G_{2}$ os grupos multiplicativos
de matrizes de permuta\c{c}\~{o}es generalizadas de ordem $4$ e $8$,
respectivamente. Ent\~{a}o a matriz $A$ \'{e} equivalente a uma matriz da
forma%
\begin{equation*}
\left[ 
\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right] .
\end{equation*}%
Desta forma temos que o n\'{u}mero de matrizes equivalentes a $A$ \'{e}
igual ao $posto\left( A\right) =4$, isto \'{e}, existem $4$ c\'{o}digos 4-usu%
\'{a}rios de comprimento $8$ equivalentes ao c\'{o}digo 4-usu\'{a}rios\
definido pela matriz $A$.
\end{exemplo}

\section{Conclus\~{o}es}

Neste trabalho apresento uma classe de c\'{o}digos equivalentes, por a\c{c}%
\~{a}o de grupos, para o Canal Aditivo Bin\'{a}rio T-usu\'{a}rios bem como
limitante superior para o n\'{u}mero de c\'{o}digos equivalentes via essa a%
\c{c}\~{a}o e para o estabilizador $G_{A}$, onde $A$ \'{e} uma matriz diferen%
\c{c}a e $G$ \'{e} um grupo finito.

\section{Agradecimentos}

Gostaria de deixar os meus agradecimentos aos Referees pelas valiosas sugest%
\~{o}es.

\begin{thebibliography}{99}
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\bibitem{Kasami} KASAMI, T. AND LIN, S. Coding for a Multiple Access
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\end{thebibliography}

\end{document}
